Чемвыше достигнутый уровень качества, тембольше необходимый объем контроля -таков парадокс классической теориистатистического контроля. Возможныйвыход состоит в переходе к принципиальноновому подходу, обеспечивающемусущественное расширение возможностейменеджера при выборе техническойполитики на основе учета экономическихрисков. При этом оказывается, что даже«перекладывание» контроля на потребителяможет быть экономически выгодно, еслипроизводитель организовал защиту отриска методом пополнения партий илипутем развития технического обслуживания.
Вгосударственных стандартах, техническихусловиях, другой нормативно-техническойдокументации, относящейся к потребительскимтоварам и услугам, различным изделиям,веществам, материалам, иным видампродукции, а также в договорах междупоставщиками и потребителями обычноприсутствуют разделы "Правила приемкии методы контроля". Поэтому, в частности,методы статистического контроля качествапродукции являются важной составнойчастью статистических методовсертификации, которым посвящена работа[4]. Как уже говорилось, имеетсясоответствующая вероятностно-статистическаятеория, посвященная анализу и синтезу(выбору) планов контроля. Однако этатеория вообще не предусматривает отказаот контроля, поскольку игнорируетвозможность перехода на иную стратегиюорганизации взаимоотношений поставщикаи потребителя, например, на стратегиютехнического обслуживания, при которойвыходной контроль не проводится, аобнаруженные потребителями дефектныеизделия заменяются годными илиремонтируются. Основная обсуждаемая внастоящем пункте идея - обоснованиенеобходимости включения теориистатистического приемочного контроляв более широкую технико-экономическуютеорию взаимоотношений поставщиков ипотребителей и целесообразности переходапри повышении качества продукции отконтроля качества к иным способам защитыпотребителя, например, к развитомутехническому обслуживанию или к поставкезапасных единиц продукции.
Использованиеэкономических показателей при выборепланов статистического (выборочного)контроля пропагандировалось давно, ноделалось это в рамках парадигмыобязательности контроля. Здесьрассматривается более широкая системавзглядов, согласно которой контролькачества продукции - лишь один из способовурегулирования взаимоотношений междупоставщиками и потребителями.
Вболее широком плане речь идет об отказеот получения детальной информации, еслиона стоит слишком дорого, и переходе киспользованию иных механизмов управления.Так, качественные методы химическогоанализа часто используют именно потому,что соответствующие количественныеметоды более трудоемки и дороги, но ненамного полезнее с практической точкизрения. Пример из всем знакомой области:в средней школе знания учащихсяконтролируются еженедельно, в высшейже - один или несколько раз в семестр,однако разница с точки зрения эффективностиуправления процессом обучения невелика.Другой пример: как показано в статистикеинтервальных данных, из-за погрешностейизмерений нецелесообразно увеличиватьих число сверх некоторого "рациональногообъема выборки", а для увеличенияточности оценивания характеристиквероятностных распределений необходимоиспользовать более точные средстваизмерения. С учетом сказанного описываемыйв настоящем пункте подход представляетсяменее необычным.
Оценкаснизу необходимого объема выборки.Как известно, в теории статистическогоприемочного контроля качества продукцииразработано много подходов к выборупланов контроля:
-на основе приемочного и браковочногоуровней дефектности;
-исходя из предела среднего выходногоуровня дефектности (при контроле сразбраковкой);
-с использованием экономическихпоказателей, относящихся к предприятию(см., например, ГОСТ 24660-81);
-с использованием экономическихпоказателей, относящихся к народномухозяйству в целом; и т.д. (см. предыдущийпункт).
Имеетсяобширная литература, посвященнаяобоснованию и сравнению этих подходов,разработке соответствующей математическойтеории и программного обеспечения. Неуглубляясь в эти проблемы, сосредоточимвнимание на одном парадоксальномявлении: при повышении качествавыпускаемой продукции теория рекомендуетувеличивать объем контроля!
Действительно,при повышении качества выпускаемойпродукции требования потребителя,очевидно, обеспечиваются все лучше.Следовательно, должен уменьшатьсябраковочный уровень дефектности, т.е.то значение входного уровня дефектности,при котором вероятность приемки партииравна риску потребителя. Из всех плановс общим объемом контроля n минимумвероятности приемки партии (т.е.оперативной характеристики) достигаетсяна одноступенчатом плане (n,0).(Напомним, что согласно этому планупартия принимается тогда и только тогда,когда из nпроверенных единиц продукции всеоказываются годными.) Другими словами,оперативная характеристика для плана(n,0)является огибающей (снизу) множествавсех оперативных характеристик.Следовательно, из всех планов с общимобъемом контроля nминимум браковочного уровня дефектностидостигается также на плане (n,0).
Вдальнейшем будем исходить из биномиальноймодели выборки, согласно которой числодефектных единиц продукции в выборкеобъема nимеет биномиальное распределение спараметрами nи p,где p- входной уровень дефектности. Как хорошоизвестно, эта модель является приближениемдля модели простой случайной выборкииз партии, согласно которой указанноечисло имеет гипергеометрическоераспределение. Напомним, что по чистоматематическим причинам гипергеометрическаямодель переходит в биномиальную, еслиобъем партии безгранично возрастает,а доля дефектных единиц продукции впартии приближается к p.Если объем выборки составляет не более10% объема партии, то с достаточной дляпрактики точностью принимают, чтосоответствующее биномиальное распределениехорошо приближает гипергеометрическое.
Примемобычное предположение о том, что рискпотребителя равен 0,10. Как известно,браковочный уровень дефектности pбрдляплана (n,0)определяется из условия
(1- pбр)n= 0,10 .
Этосоотношение дает возможность по заданномубраковочному уровню дефектности pбрнайтинеобходимый объем выборки:
n= ln 0,10 / ln (1- pбр)= - 2,30 / ln (1- pбр).
Посколькув силу сказанного ранее представляютинтерес малые значения браковочногоуровня дефектности, воспользуемся тем,что при малых xсогласноправилам математического анализа
ln(1 + x)= x+ O (x2).
Вторымслагаемым в правой части последнейформулы, как обычно в асимптотическихрассуждениях, можно пренебречь.Следовательно, необходимый объем выборкис достаточной точностью может бытьнайден по формуле
n= 2,30 / pбр.(15)
(Приконкретных расчетах надо, очевидно,правую часть округлить до ближайшегоцелого числа.) Например, при довольнонизком (с точки зрения мирового рынка)качестве выпускаемой продукции можнозадать pбр=0,01, т.е. потребовать, чтобы почти все(точнее, не менее 90%) партии, в которыхдефектных единиц больше, чем 1 из 100, былизабракованы и не достигли потребителя.Тогда объем контроля должен составлятьне менее n= 230.
Основнойпарадокс теории статистическогоприемочного контроля.Как следует из сказанного выше, необходимыйобъем выборки, определяемый длякакого-либо плана контроля по заданномубраковочному уровню дефектности pбр,будет неменьше,чем для плана (n,0),т.е. не меньше, чем 2,30 / pбр.Таким образом, если достигнут достаточновысокий уровень качества, такой, чтопотребителю может попасть не более 1дефектной единицы продукции из 10000, т.е.pбр=0,0001, то объем контроля должен быть неменьше n= 23000. Если же качество повысится в 100раз, т.е. потребителю сможет попасть неболее 1 дефектной единицы продукции из1000000, то объем контроля и затраты на неговозрастут также в 100 раз, и минимальнонеобходимый объем контроля составит2,3 миллиона единиц продукции. Посколькуобъем партий большинства видов продукциисущественно меньше этого числа, топроведенные выше расчеты говорят онеобходимости перехода на сплошнойконтроль.
Итак,выводы парадоксальны: если качествовыпускаемой продукции не очень хорошее,то целесообразно проводить статистический(выборочный) контроль, если же качествовозрастает, то объем контроля и затратына него увеличиваются, вплоть до переходана сплошной контроль. Если это возможно,т.е. контроль не является разрушающим.А если невозможно, то попадаем в тупиковуюситуацию - высокое качество не можетбыть подтверждено.
Вреальных ситуациях объемы контролируемыхвыборок - единицы или десятки, но обычноотнюдь не сотни и тысячи. Если контролируются100 изделий, то согласно формуле (15)браковочный уровень дефектности равен2,3 %. И это - предел для реально используемыхобъемов контроля. Следовательно,статистический приемочный контроль (втом числе выходной или входной) можетбыть применен для контроля лишь такойпродукции, в которой из 50 изделий хотябы одно дефектно. Другими словами, этотметод управления качеством предназначенлишь для продукции сравнительно низкогокачества (входной уровень дефектностине менее 1-2%) или при обслуживаниипотребителя, согласного на довольновысокий браковочный уровень дефектности(не менее 2,3%).
Следовательно,для повышения качества необходимоиспользовать контрольные карты и другиеметоды статистического регулированиятехнологических процессов на предприятии.О них подробно рассказано, например, вмонографиях [1,10]. В частности, упомянемметоды «всеобщего» (в другом переводе- тотального) контроля качества и др.Недаром этим методам уделяется большевнимания в зарубежных методическихизданиях, чем собственно статистическомуприемочному контролю.
Отконтроля к пополнению партии.Рассмотрим простую идею: отказываемсяот контроля качества вообще, но зато попервому требованию потребителя заменяемдефектную единицу продукции на новую.При этом экономим на контроле, но вместоэтого тратим средства на замену продукции.Выгодно это или не выгодно?
Заменапродукции может проводиться различнымиспособами. Для многих видов товаровнародного потребления это делается спомощью системы гарантийного обслуживания,гарантийных сроков и мастерских, черезсеть розничной торговли и т.д.
Другойвариант - к партии поставляемой продукциидобавляется некоторое количество единицпродукции для замены имеющихся, возможно,в ней дефектных единиц. Сначала обсудимподробнее именно этот вариант идеизамены продукции.
Пустьпоставщик выпускает продукцию с известнымему уровнем дефектности p.Тогда число Хдефектных единиц в партии объема Nимеет биномиальное распределение спараметрами Nи p.По теореме Муавра-Лапласа Хне превосходит (при достаточно большомN)величины
D0(t)= Np + t (Np(1-p))1/2
свероятностью Ф(t).где Ф(.) - функция стандартного нормальногораспределения с математическим ожиданием0 и дисперсией 1. Поскольку Ф(4) = 0,999968329,то для практических целей достаточноположить t= 4, при этом более чем D0(4)дефектныхединиц продукции попадет в партию лишьв 3 случаях из 100000.
ПустьС0-цена одной единицы продукции, С1-стоимость неразрушающего контроляодной единицы продукции (с исправлениемдефектов при их обнаружении). Сравнимсначала две стратегии технико-экономическихотношений поставщика с потребителями:
сплошнойконтроль (затраты С1N)
ипополнение партии дополнительнымиизделиями в числе D0(4)(затраты С0D0(4)). Вторая стратегия лучше (экономическивыгоднее), если
(16)
Поделимна 
получим равносильное неравенство
.
Посколькуp(1-p)не превосходит 1/4 при всех p,то из неравенства
С1/С0> p+ 2 / N1/2(17)
вытекаетнеравенство (16). Ясно, что в случае, если
С1/С0> p,
неравенство(17) (а потому и неравенство (16)) выполняетсяпри достаточно больших объемах партии,а именно, при
N> {2 С0/ (С1- С0p)}2.
Например,если стоимость контроля составляет 10%от стоимости продукции (типовая ситуацияв машиностроении), т.е. С1/С0=0,1, а уровень дефектности p= 0,01, то последнее неравенство даетN>493.В то же время нетрудно проверить, чтонеравенство (16) выполняется при
0,1> 0.01+ 4 (0.01*0,99)1/2/ N1/2,
т.е.при N> 19. Расхождение более чем на порядок(в 26 раз) объясняется заменой при переходеот формулы (16) к формуле (17) величиныp(1-p)на 1/4, т.е. на гораздо большую величину - при малом входном уровне дефектностиp.
Выгодноли введение статистического контроля?Пусть рассматривается описанная вышестратегия пополнения партий. Мы сравнивалиее со стратегией сплошного контроля,которая во многих случаях оказаласьхуже. Может быть, поставщику имеет смыслиспользовать статистический контроль?Понятно, что речь может идти лишь о(неразрушающем) контроле с разбраковкой,поскольку только в этом случае меняетсядоля дефектности в потоке партий,направляемых потребителям.
Пустьиспользуется план (n,0)с приемочным уровнем дефектности, равнымреально достигнутому предприятиемуровню дефектности p.Как известно, тогда объем выборкиопределяется из условия
(1-p)n= 0,95,
т.е.
n= ln 0,95 / ln (1 - p)= - 0,0513 / ln (1 - p).
Прималом pуже не раз применявшееся соотношениеиз математического анализа дает сдостаточной для практики точностью
n= 0,05 / p .
Свероятностью (1-p)n= 0,95 партия принимается, с вероятностью0,05 подвергается разбраковке. В первомслучае партия поступает к потребителюс тем же уровнем дефектности, что и доконтроля, но при этом добавляются затратына контроль, равные С1n.Партию необходимо пополнить D0(4)изделиями(затраты С0D0(4)),общие затраты (в среднем на одну выпущеннуюпартию) равны
0,95(С1n+ С0D0(4)).
Вовтором случае фактически проводитсясплошной контроль с исправлениемдефектов и затратами С1N.Суммарные затраты при использованиивыборочного контроля равны
0,95(С1n+ С0D0(4)) + 0,05 С1N.
Онболее выгоден, чем отсутствие контроля(с добавлением "запасных" изделий),в случае справедливости неравенства
0,95(С1n+ С0D0(4)) + 0,05 С1N < С0D0(4),
чтоэквивалентно неравенству
19С1n+ С1N< С0D0(4).
Сравнениес формулой (16) показывает, что есликонтроль не является разрушающим, товыборочный контроль менее выгоден, чемсплошной. По сравнению с формулой (16)добавляется первое слагаемое в левойчасти последней формулы. И тем болеевыборочный контроль в экономическойэффективности весьма проигрывает посравнению с отсутствием контроля всочетании с пополнением партии.
Итак,введение статистического контроля всхеме пополнения партии не выгодно.
Отсистемы контроля к системе техническогообслуживания. Вернемсяк первому из указанных ранее вариантовзамены продукции. Что выгоднее - сплошнойконтроль на предприятии или заменадефектных изделий, обнаруженныхпотребителями? Реальное перекладываниеконтроля на потребителей влечет потери,связанные с удовлетворением их претензий,но при малой доле дефектных изделий этипотери малы по сравнению с затратамина контроль.
Действительно,пусть W- средние потери поставщика, связанныес пропуском потребителю дефектнойединицы продукции. Сюда входят, вчастности, такие виды потерь:
-стоимость новой единицы продукции (призамене изделия или возврате егостоимости);
-расходы системы распределения продукциии гарантийного ремонта, включая издержкина устранение дефектов;
-потери из-за нежелательного измененияпредпочтений потребителя, из-за сниженияимиджа фирмы;
-затраты на возмещение ущерба, понесенногопотребителем, страховые сборы, судебныеиздержки, и т.д.
ПотериWв несколько раз (по экспертной оценке- обычно в 5-10 раз) превышают расходы С0на изготовление единицы продукции.Кроме того, для быстрого решения проблемпотребителей, связанных с обнаружениемдефектов, необходима развитая систематехнического обслуживания.
Пустьизготовлена партия продукции объемаN.Тогда расходы на сплошной (неразрушающий)контроль составляют С1N(при этом дефектные единицы продукцииизвлекаются и утилизируются, расходамина утилизацию или доходами от нее внастоящем изложении пренебрегаем).Пусть p- доля дефектных единиц продукции впартии. Тогда Np- математическое ожидание числа дефектныхединиц продукции в партии, а WNp- математическое ожидание потерь. Если
WNp< С1N, p < С1/W, (18)
товыгоднее отказаться от сплошногоконтроля. При повышении качества, т.е.снижении доли дефектности, целесообразнопереходить к поиску и устранению дефектовне непосредственно на предприятии, а впунктах системы технического обслуживания.
Вформуле (18) участвует математическоеожидание WNp.Реальные потери могут быть больше, ноне намного. Как и выше, с помощью теоремыМуавра-Лапласа можно утверждать, чтопрактически наверняка они не превышаютWD0(4),а потому преимущество решения об отказеот контроля неоспоримо при
WD0(4)< С1N, p + 4 (p(1-p))1/2/ N1/2< С1/ W.(19)
Аналогичновыводу неравенства (17) заключаем, чтонеравенство (19) наверняка будет выполнено,если
p + 2 / N1/2< С1/ W. (20)
ПустьС1/ W= 0,1, выпускается партия объема N= 1600. Тогда согласно неравенству (20) отказот контроля выгоден уже при p<0,05, т.е. граничное значение соответствуетдовольно низкому уровню качества - 1единица продукции из 20.
Выгодноли в рассматриваемой ситуации вводитьвыборочный контроль? Пусть объем контроляравен n,приемочное число с= 0, с вероятностью yпартия принимается, а с вероятностью 1- yбракуется (и затем подвергаетсяразбраковке). В первом случае расходына контроль равны С1n,а остальная часть партии содержит всреднем (N- n) pдефектных единиц продукции, и средниеиздержки равны y{С1n+ W(N - n)p}.Во втором случае суммарные затратыравны (1- y)С1N. Следовательно, введение контролявыгодно, если
y{С1n+ W(N - n)p} + (1 - y)С1N< WNp .
Преобразуемэто неравенство к виду
yn{С1- Wp}(1 - y)-1+ С1N< WNp. (21)
Есливыполнено неравенство p<С1/W,то второе слагаемое в левой частинеравенства (21) больше правой частиэтого неравенства, в то время как первоеслагаемое в левой части (21) положительно.Следовательно, неравенство (21) неверно,и введение выборочного контролянецелесообразно - как и в разобранномранее случае метода пополнения партий.
Вышеприведен базовый (простейший, исходный)метод сравнения различных системвзаимоотношений поставщиков ипотребителей. При разработке практическипригодных систем принятия решенийцелесообразно дальнейшее его развитие.
Отметимв заключение, что реально статистическийконтроль качества продукции, осуществляемыйпоставщиком (выходной контроль), решаетдве основные задачи: обеспечениеинтересов потребителя и обнаружениеразладок собственных технологическихпроцессов (по результатам контроляпоследовательности партий). Как показановыше, для решения первой из этих задачон не всегда оптимален. Вторую изназванных задач также часто эффективнеерешать с помощью иных методов, например,обнаруживать разладку технологическихпроцессов с помощью тех или иныхконтрольных карт. Таким образом, областьприменения методов статистическогоприемочного контроля является довольноограниченной. Очевидно, однако, чтонельзя исключать эти методы из арсеналаменеджеров по качеству, в частности,при использовании концепции "всеобщегоуправления качеством (TQM- Total Quality Management)".Хотя бы потому, что они незаменимы прииспользовании разрушающих методовконтроля.
Наиболееперспективным представляется использованиеполученных результатов в рамках концепцииконтроллинга (см., например, [11-13]). Итак,выше сформулирован основной парадокстеории статистического приемочногоконтроля - повышение качества выпускаемойпродукции приводит к увеличению объемаконтроля. Описан способ разрешенияэтого парадокса - на основе перехода отчисто технической политики выбора планаконтроля к технико-экономической. Онаисходит из сравнения по экономическимпоказателям схем контроля и схемтехнического обслуживания и пополненияпартий. Проанализирован базовый методтакого сравнения, позволяющий выделитьобласть экономического преимуществасхемы пополнения партий и схемытехнического обслуживания по сравнениюсо схемой контроля.
